LABO · Fondations 21
Comprendre le champ électrique
Une charge modifie l'espace autour d'elle, même s'il n'y a rien à cet endroit. Cette modification, c'est le champ. La simulation te permet de la voir, de la mesurer et de la tester avec une petite charge d'essai.
Manipule les scènes au fil du texte. Les nombres soulignés se règlent en les faisant glisser ou avec les flèches du clavier ; les termes pointillés ouvrent une définition. Prédis avant de vérifier.
1Ce que tu vois
2La théorie, module par module
Chaque module suit le même plan : l’intuition, les définitions, les relations à connaître, un exemple chiffré, les pièges fréquents, où le module resservira, et quelques questions pour vérifier.
Module 21
Électrostatique
Sur la planche : 21.1 Charges et champ21.2 Potentiel21.3 Charge test21.4 Tension
Intuition
Une charge modifie l’espace autour d’elle, même quand il n’y a rien à cet endroit. Cette modification est le champ : en chaque point, il dit quelle poussée une charge d’essai ressentirait. Le potentiel est une autre lecture de la même situation. Imagine un relief : le potentiel est l’altitude, le champ est la pente, et la force sur une charge est la pente qu’elle sent sous ses pieds. Une charge positive est une colline d’où tout descend, une charge négative est un creux. Les lignes de champ suivent la plus grande pente, les équipotentielles sont les courbes de niveau, et les deux se coupent toujours à angle droit. Chaque grandeur répond à une question différente, et les confondre est l’erreur la plus fréquente en électricité.
Définitions
- Charge \(q\)C
- Grandeur scalaire signée, qui crée un champ et en subit un. Elle se conserve et vient par multiples de \(e = 1{,}6\times10^{-19}\) C.
- Champ électrique \(\vec E\)N/C = V/m
- Vecteur : la force par coulomb en un point, \(\vec E = \vec F/q\). Il existe même là où aucune charge n’est posée.
- Force \(\vec F\)N
- Vecteur : la poussée subie par une charge précise placée dans un champ. Pas de charge, pas de force.
- Potentiel \(V\)V = J/C
- Scalaire : l’énergie potentielle par coulomb en un point. Il est défini à une constante près (ici, 0 V à l’infini).
- Tension \(U\)V
- Scalaire : l’écart de potentiel entre deux points, \(U = V_B - V_A\). Elle ne dépend pas du choix du zéro.
- Énergie potentielle \(E_p\)J
- Énergie d’une charge placée en un point : \(E_p = qV\).
- Ligne de champ
- Courbe dont la tangente donne la direction de \(\vec E\). Elle part d’une charge positive et finit sur une négative.
- Équipotentielle
- Ensemble des points de même potentiel. Elle est perpendiculaire aux lignes de champ.
- Constantes \(k\), \(\varepsilon_0\)N·m²/C², F/m
- \(k = 1/(4\pi\varepsilon_0) \approx 8{,}99\times10^{9}\) N·m²/C², avec \(\varepsilon_0 \approx 8{,}85\times10^{-12}\) F/m.
Relations clés
Loi de Coulomb pour une charge ponctuelle. Le champ s’éloigne d’une charge positive et va vers une négative. Il varie en \(1/r^2\), le potentiel en \(1/r\).
Une charge isolée : distance et champ
Charge q = 3 nC ; distance r = 30 cm.
E = N/C ; V = V.
Courbe E(r) pour une charge positive isolée, sans adoucissement numérique. Double r : E est divisé par quatre, V par deux.
On double la distance à une charge isolée. Que devient le champ ?
- Il est divisé par deux.
- Il est divisé par quatre.
- Il double.
Superposition : les champs s’additionnent comme des vecteurs, les potentiels comme de simples nombres. Déplace une charge et tout est recalculé, car chaque terme de la somme change.
Le champ est la pente du potentiel, orientée vers les potentiels décroissants. D’où l’unité V/m, et la perpendicularité aux équipotentielles : le long de l’une, \(V\) ne varie pas.
Travail à fournir pour amener \(q\) de A à B, quel que soit le chemin. Sur une équipotentielle, il est nul.
Un voltmètre compare deux points
V(A) = 120 V ; V(B) = 0 V ; charge transportée q = 1 nC.
U = V ; travail extérieur qU = nJ.
Déplacement lent, sans changement d’énergie cinétique. Le travail du champ est l’opposé. Décaler les deux potentiels du même nombre laisse U inchangée.
Une charge libre dans un champ fixe gagne de l’énergie cinétique exactement autant qu’elle perd d’énergie potentielle. Avec \(\vec F = q\vec E = m\vec a\), elle accélère en \(a = qE/m\).
Condensateur plan idéal (deux plaques parallèles de charges opposées, distantes de \(d\), de densité \(\sigma\)) : champ uniforme entre elles, lignes parallèles, équipotentielles également espacées.
Exemple chiffré
Un dipôle : \(+2\) nC en \(x = 0\) et \(-2\) nC en \(x = 20\) cm. On pose \(kq = 8{,}99\times10^{9} \times 2\times10^{-9} = 17{,}98\) N·m²/C.
- Au milieu (\(r = 0{,}10\) m de chaque charge) : chaque charge donne \(17{,}98/0{,}01 \approx 1\,798\) N/C, dirigé vers la charge négative. Les deux s’ajoutent : \(E \approx 3\,596\) N/C, soit environ \(3{,}6\times10^{3}\) N/C. Le potentiel y vaut \(17{,}98/0{,}1 - 17{,}98/0{,}1 = 0\) V : la médiatrice est une équipotentielle, avec pourtant un champ intense.
- Force sur une charge d’essai de 1 nC : \(F = qE \approx 3{,}6\times10^{-6}\) N. Avec \(m = 10\) mg \(= 10^{-5}\) kg : \(a = F/m \approx 0{,}36\) m/s².
- Au point \(x = -10\) cm (à 10 cm de la positive, 30 cm de la négative) : \(V = 17{,}98\,(1/0{,}10 - 1/0{,}30) \approx 17{,}98 \times 6{,}67 \approx 120\) V.
- Tension entre le milieu et ce point : \(U = 120 - 0 = 120\) V. Travail pour y amener 1 nC : \(W = qU = 10^{-9} \times 120 = 1{,}2\times10^{-7}\) J, soit 120 nJ.
Pièges fréquents
- Confondre champ et potentiel. Entre deux charges positives identiques, \(E = 0\) au milieu alors que \(V\) y est élevé (un col). Sur la médiatrice d’un dipôle, c’est l’inverse. Ce qui fait la force, c’est la variation de \(V\), pas sa valeur.
- Croire que le champ dépend de la charge qu’on y pose. Il est créé par les autres charges : changer \(+1\) nC en \(-3\) nC multiplie la force par \(-3\), pas le champ.
- Chercher « le potentiel d’un point » avec un voltmètre. Il a deux pointes et mesure une différence. Le zéro est un choix, la tension n’en dépend pas.
- Supposer que la charge d’essai suit la ligne de champ. La ligne donne la direction de la force, pas celle de la vitesse : la charge a de l’inertie et sa trajectoire s’en écarte dès que la ligne se courbe.
- Croire que deux lignes de champ peuvent se croiser. En un point, le champ n’a qu’une direction. Aux points où \(E = 0\), aucune ligne ne passe.
- Oublier le signe : \(E_c + qV\) est constante, mais une charge négative gagne de l’énergie cinétique en montant vers les potentiels croissants.
Où ça resservira
- 22La tension d’une pile met les charges en mouvement dans un circuit : planche Courant et circuits. Le condensateur y reprend le champ uniforme de deux plaques.
- 02Superposition des champs : une addition de vecteurs, avec composantes et projections.
- 13Même structure en \(1/r^2\) pour la gravitation, avec un potentiel en \(1/r\) et des orbites.
- 16Champ scalaire (\(V\)), champ vectoriel (\(\vec E\)), gradient : la version générale de \(\vec E = -\vec\nabla V\).
- 23Quand les charges bougent, un champ magnétique apparaît (force de Lorentz, induction).
- 33Une membrane cellulaire est un condensateur : potentiel membranaire et potentiel d’action.
Teste-toi
Une charge de 3 nC est isolée. Que valent \(E\) et \(V\) à 30 cm ? Et à 60 cm ? Réponds ici avec E à 30 cm ; calcule aussi les trois autres valeurs avant de vérifier.
\(kq = 8{,}99\times10^{9} \times 3\times10^{-9} \approx 27{,}0\) N·m²/C. À 0,30 m : \(E = 27{,}0/0{,}09 \approx 300\) N/C et \(V = 27{,}0/0{,}30 \approx 90\) V. À 0,60 m, la distance double : \(E\) est divisé par 4 (75 N/C) et \(V\) par 2 (45 V).
Au milieu de deux charges positives identiques, \(|E| = 0\). Le potentiel y est-il nul aussi ?
- Oui, E et V s’annulent ensemble.
- Non, les potentiels positifs s’additionnent.
Non, il est même élevé : les deux potentiels positifs s’additionnent. Le champ est nul parce que \(V\) y atteint un col et ne varie pas pour un tout petit pas. \(\vec E\) est la pente de \(V\), pas sa valeur.
A et B sont sur la même équipotentielle, dans une région où le champ est intense. Que valent la tension \(U\) et le travail pour amener une charge de A à B ?
- U = 0 et W = 0.
- U est nul mais W est non nul.
- U et W sont nécessairement non nuls.
\(U = 0\) et \(W = qU = 0\). Le champ y est fort, mais perpendiculaire à l’équipotentielle : il pousse de côté, jamais le long d’un chemin qui reste dessus. Comme le travail ne dépend pas du chemin, il est nul aussi par n’importe quel autre trajet.
3Ce que la simulation simplifie
- Échelle. 1 pixel = 1 mm. La scène mesure donc environ un mètre : les valeurs en N/C et en V sont cohérentes avec cette échelle, mais elles changeraient si on la modifiait (E varie en 1/r²).
- Adoucissement. Près d'une charge, E tend vers l'infini et une intégration numérique diverge. On remplace r² par r² + ε² avec ε = 2 mm : le champ reste fini. La charge test est en plus « captée » quand elle touche une charge de signe opposé, au lieu de la faire rebondir ou orbiter.
- Lignes en coupe. Les charges sont dans un plan et les lignes dessinées y restent (c'est exact par symétrie), mais leur nombre est proportionnel à |q| avec des angles réguliers dans le plan. Dans l'espace réel, la densité de lignes ne représente |E| qu'approximativement.
- Plaques. Une rangée de charges ponctuelles n'est pas une vraie plaque continue : le champ entre elles n'est pas parfaitement uniforme (il varie un peu avec la distance aux rangées). Deux plaques infinies de charges opposées donneraient E = σ/ε₀ exactement uniforme entre elles.
- Électrostatique. Les charges sont fixes ou déplacées lentement, et le champ se met à jour instantanément (en réalité, l'information voyage à la vitesse de la lumière). La charge test est trop petite pour perturber les sources, ne rayonne pas et n'est pas relativiste. Pas de conducteurs ni de diélectriques.