Quand on relie deux points de potentiels différents par un conducteur, les charges se mettent en mouvement. Cette planche prolonge l'électrostatique de la planche 04 : la tension pousse, la résistance freine, le condensateur stocke, la bobine résiste aux changements.
Chaque module suit le même plan : l’intuition, les définitions, les relations à connaître, un exemple chiffré, les pièges fréquents, où le module resservira, et quelques questions pour vérifier.
Intuition
Relie deux points de potentiels différents par un conducteur : les charges s’y mettent en mouvement. Le courant est ce débit de charges. La tension est ce qui les pousse, comme une différence d’altitude fait couler l’eau. La résistance freine, et l’énergie freinée devient chaleur. Un condensateur, lui, stocke des charges séparées : en se remplissant, il s’oppose de plus en plus à ce qui le remplit, d’où une charge qui ralentit d’elle-même. Une bobine fait l’inverse : elle s’oppose aux changements du courant, et non au courant lui-même. Associés, condensateur et bobine échangent leur énergie, comme un ressort et une masse, et la résistance finit par éteindre l’oscillation.
Définitions
- Charge \(Q\)C
- Quantité d’électricité. La charge élémentaire est \(e = 1{,}6 \times 10^{-19}\) C.
- Courant \(I\)A
- Débit de charge : des coulombs par seconde. Le sens conventionnel va du + vers le − à l’extérieur de la pile ; les électrons vont en sens inverse.
- Tension \(V\)V
- Différence de potentiel entre deux points : l’énergie par coulomb (module 21).
- Résistance \(R\)Ω
- Opposition d’un conducteur au passage du courant : \(R = V/I\). Elle dépend du matériau, de la longueur et de la section.
- Puissance \(P\)W
- Énergie convertie par seconde.
- Capacité \(C\)F
- Charge stockée par volt appliqué. Pour deux plaques parallèles dans le vide, \(C = \varepsilon_0 S/d\).
- Inductance \(L\)H
- Mesure de l’opposition d’une bobine aux variations du courant.
- Constante de temps \(\tau\)s
- Durée caractéristique d’une charge ou d’une décharge : \(\tau = RC\) pour un circuit RC, \(\tau = L/R\) pour un circuit RL.
- Pulsation propre \(\omega_0\)rad/s
- Rythme naturel du circuit LC sans résistance : \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\).
Relations clés
\[ I = \frac{\dd Q}{\dd t}, \qquad v_d = \frac{I}{n\,e\,S} \]
Le courant est un débit de charge. Dans un fil de section \(S\) où les porteurs ont une densité \(n\), ils dérivent très lentement : la vitesse \(v_d\) est minuscule, même pour un courant notable.
\[ V = R\,I, \qquad R = \rho\,\frac{L}{S}, \qquad P = V I = R I^2 = \frac{V^2}{R} \]
Loi d’Ohm : le courant est proportionnel à la tension, et la pente de la droite \(I(V)\) vaut \(1/R\). La résistance croît avec la longueur et décroît avec la section. La puissance est l’énergie convertie en chaleur chaque seconde.
\[ Q = C\,V_C, \qquad U = \tfrac12\,C\,V_C^{\,2} \]
Le condensateur porte \(+Q\) sur une armature et \(-Q\) sur l’autre, et stocke de l’énergie dans le champ entre elles.
\[ V_C(t) = V_0\left(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau}\right) \ \text{(charge)}, \qquad V_C(t) = V_0\,\mathrm{e}^{-t/\tau} \ \text{(décharge)}, \qquad \tau = RC \]
La vitesse de charge est proportionnelle à ce qu’il reste à faire, ce qui donne une exponentielle (module 05). Après \(\tau\), \(V_C\) atteint 63 % de \(V_0\) ; après \(5\tau\), plus de 99 %. À la décharge, le courant change de signe. Bilan d’énergie de la charge : la pile fournit \(C V_0^2\), le condensateur garde la moitié, la résistance dissipe l’autre, quelle que soit \(R\).
\[ V_L = L\,\frac{\dd I}{\dd t}, \qquad I(t) = \frac{V_0}{R}\left(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = \frac{L}{R} \]
Circuit RL : le courant ne peut pas sauter. Au premier instant, \(I = 0\) et toute la tension de la pile se retrouve aux bornes de la bobine. Le régime établi est \(I = V_0/R\).
\[ L\,\frac{\dd^2 q}{\dd t^2} + R\,\frac{\dd q}{\dd t} + \frac{q}{C} = 0, \qquad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad R_{\mathrm{c}} = 2\sqrt{\frac{L}{C}} \]
Circuit RLC : c’est l’oscillateur amorti du module 14, avec \(q\) pour la position, \(I\) pour la vitesse, \(L\) pour la masse, \(1/C\) pour la raideur et \(R\) pour le frottement. Sous \(R_{\mathrm{c}}\), l’oscillation est amortie sous une enveloppe \(\mathrm{e}^{-Rt/2L}\) ; à \(R_{\mathrm{c}}\), le retour à zéro est le plus rapide sans dépassement ; au-dessus, il est lent et sans oscillation.
Exemple chiffré
Le circuit par défaut de la planche : une pile de \(V_0 = 6\) V charge un condensateur de \(C = 100\) µF à travers \(R = 10\) kΩ.
- Constante de temps : \(\tau = RC = 10^4 \times 10^{-4} = 1\) s.
- Courant initial : \(I_0 = V_0/R = 6/10^4 = 0{,}6\) mA. Il décroît comme \(\mathrm{e}^{-t/\tau}\) : à \(t = \tau\), \(I = 0{,}6 \times 0{,}368 \approx 0{,}22\) mA.
- Tension aux bornes de C : à \(t = \tau\), \(V_C = 6\,(1 - \mathrm{e}^{-1}) \approx 3{,}8\) V ; à \(3\tau\), \(V_C = 6 \times 0{,}950 \approx 5{,}7\) V ; à \(5\tau\), \(V_C \approx 5{,}96\) V, soit plus de 99 % de \(V_0\).
- Charge finale : \(Q = C V_0 = 600\) µC. Énergie stockée : \(\tfrac12 C V_0^2 = \tfrac12 \times 10^{-4} \times 36 = 1{,}8\) mJ. La pile a fourni \(Q V_0 = 3{,}6\) mJ : les 1,8 mJ restants ont été dissipés dans \(R\).
Pièges fréquents
- Croire que les électrons parcourent le circuit en une fraction de seconde. Ils dérivent à environ 0,1 mm/s ; c’est le champ qui se propage presque à la vitesse de la lumière, et tous les électrons du fil se mettent en marche presque ensemble.
- Dire que le courant est « consommé » par la résistance. Dans une boucle simple, il est le même partout : ce qui est dissipé, c’est de l’énergie.
- Penser qu’un condensateur chargé « laisse passer » le courant. En régime établi, son courant est nul : il se comporte comme un circuit ouvert.
- Croire que doubler \(R\) réduit l’énergie perdue pendant la charge. Elle reste \(\tfrac12 C V_0^2\) : \(\tau\) double, mais le courant est deux fois plus faible.
- Confondre le signe du courant et celui de la tension : à la décharge, \(V_C\) reste positive tandis que \(I\) devient négative, car le courant conventionnel repart de l’armature chargée.
- Oublier qu’une bobine ne s’oppose pas au courant lui-même, mais à ses variations : en régime établi, elle se comporte comme un simple fil.
Où ça resservira
- 21La tension est une différence de potentiel : la résistance et le condensateur prolongent l’électrostatique (planche Champ électrique).
- 05La charge et la décharge sont des exponentielles de temps caractéristique \(\tau\), comme une demi-vie ou un refroidissement.
- 14Le circuit RLC est l’oscillateur amorti sous un autre habit, avec le même amortissement critique (planche Oscillations et ondes).
- 23La bobine tient sa loi \(V_L = L\,\dd I/\dd t\) de l’induction de Faraday.
- 33La membrane d’un neurone est un circuit RC : mêmes équations (planche Neurone).
- 11Le bilan d’énergie (stockée, dissipée, fournie) reprend la conservation de l’énergie.
Teste-toi
Un condensateur de 50 µF se charge à travers 2 kΩ depuis une pile de 12 V. Que vaut \(V_C\) après 0,1 s ?
\(\tau = RC = 2000 \times 50 \times 10^{-6} = 0{,}1\) s. On est donc à \(t = \tau\) : \(V_C = 12\,(1 - \mathrm{e}^{-1}) \approx 7{,}6\) V, soit 63 % de 12 V.
Un circuit LC contient \(L = 10\) mH et \(C = 100\) µF. Quelles sont sa pulsation propre, sa fréquence et sa résistance critique ?
\(\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 1/\sqrt{10^{-6}} = 1000\) rad/s, donc \(f = 1000/2\pi \approx 159\) Hz et \(T \approx 6{,}3\) ms. La résistance critique vaut \(2\sqrt{L/C} = 2\sqrt{100} = 20\) Ω. Sous 20 Ω, le circuit oscille en s’amortissant.
Dans le circuit LC, où est l’énergie quand le courant est maximal ?
Dans la bobine, sous la forme \(\tfrac12 L I^2\). À cet instant, \(V_C\) passe par zéro : le condensateur est vide. Un quart de période plus tard, l’énergie est de nouveau dans le condensateur, armatures inversées (moins ce que \(R\) a dissipé).
≈ 0,1 mm/svitesse de dérive des électrons pour 1 A dans un fil de cuivre de 1 mm².
≈ 6,2 × 10¹⁸électrons par seconde pour 1 A (1 C ÷ 1,6 × 10⁻¹⁹ C).
≈ 1 J sous ≈ 300 Vénergie stockée dans le condensateur d'un flash photographique (½·C·V² avec C de l'ordre de 20 à 100 µF).
1 sτ = RC du circuit de la planche par défaut (10 kΩ × 100 µF). À 5τ, la charge est complète à moins de 1 %.
≈ 1 µF/cm²capacité de la membrane d'un neurone, par unité de surface : la même physique RC que cette planche (planche 03).