La chaleur qui fuit, un soluté qui diffuse, le courant dans un fil, le sang dans une artère, le vent, la lumière qui sort d'une étoile : tout cela se décrit avec le même petit vocabulaire spatial. Une valeur en chaque point, sa pente, une flèche en chaque point, ce qui traverse une surface. Les quatre laboratoires le construisent à la main, avant de lui donner sa notation.
Chaque module suit le même plan : l'intuition, les définitions, les relations à connaître, un exemple chiffré, les pièges fréquents, où le module resservira, et quelques questions pour vérifier.
Intuition
Beaucoup de grandeurs existent partout à la fois : la température d'une pièce, la pression de l'air, la vitesse de l'eau d'un ruisseau. Un champ attache une valeur à chaque point de l'espace : un nombre (champ scalaire) ou une flèche (champ vectoriel). Quatre questions suffisent pour le lire. Vers où ça monte, et à quel rythme ? Le gradient. Combien traverse cette surface ? Le flux. Naît-il ou disparaît-il quelque chose ici ? La divergence. Le champ fait-il tourner un petit objet sur lui-même ? Le rotationnel. Ce qui diffuse (chaleur, soluté) descend le gradient, du plus vers le moins.
Définitions
- Champ scalaire \(f(x,y)\)
- Un nombre en chaque point : température, concentration, pression, potentiel.
- Ligne de niveau
- Courbe où \(f\) est constante (isotherme, isobare, équipotentielle) ; serrée, elle signale une pente raide.
- Gradient \(\nabla f\)unité de f par m
- Flèche vers la montée la plus raide, de longueur égale à cette pente ; perpendiculaire aux lignes de niveau.
- Champ vectoriel \(\vec v\)
- Une flèche en chaque point : vitesse d'un fluide, champ électrique, flux de chaleur.
- Normale \(\hat n\)
- Vecteur unitaire perpendiculaire à une surface ; il fixe le sens positif.
- Flux \(\Phi\)m³/s pour une vitesse
- Quantité qui traverse une surface par unité de temps, comptée selon la normale. En 2D, la « surface » est un segment : flux par unité de profondeur (cm²/s).
- Densité de flux \(\vec q\), \(\vec J\)W/m² pour la chaleur
- Flux par unité de surface : ce qui s'écoule, en chaque point.
- Divergence \(\nabla\cdot\vec v\)s⁻¹ pour une vitesse
- Flux sortant d'un petit contour divisé par son aire : positive pour une source, négative pour un puits.
- Circulation \(\Gamma\)m²/s pour une vitesse
- Somme de la composante de \(\vec v\) le long d'un contour fermé.
- Rotationnel \(\nabla\times\vec v\)s⁻¹ pour une vitesse
- Circulation d'un petit contour divisée par son aire : tendance à tourner sur soi.
- Nabla \(\nabla\)
- \(\nabla = (\partial/\partial x,\ \partial/\partial y)\) ; \(\partial f/\partial x\) est la pente de \(f\) en ne bougeant qu'en \(x\).
Relations clés
\[ \frac{\dd f}{\dd s} = \nabla f\cdot\hat u = \lvert\nabla f\rvert\cos\theta, \qquad \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y}\right) \]
Pente de \(f\) dans la direction \(\hat u\), \(\theta\) étant l'angle avec le gradient. Maximale à \(\theta = 0\), nulle le long d'une ligne de niveau (\(\theta = 90°\)).
\[ \vec q = -k\,\nabla T, \qquad \vec J = -D\,\nabla c, \qquad \vec E = -\nabla V \]
Ce qui s'écoule descend le gradient : chaleur (Fourier), soluté (Fick), champ électrique. Le signe moins est toute la physique ; la constante fixe la vitesse.
\[ \Phi = \iint_S \vec v\cdot\hat n\,\dd A, \qquad \Phi = v\,A\cos\theta \ \ \text{(champ uniforme, surface plane)} \]
Le flux additionne la part du champ qui traverse. Il change de signe si on retourne la normale ; parallèle au courant, il est nul.
\[ \nabla\cdot\vec v = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} = \lim_{A\to 0}\frac{\Phi_{\text{sortant}}}{A}, \qquad \oint \vec v\cdot\hat n\,\dd\ell = \iint \nabla\cdot\vec v\,\dd A \]
Le flux sortant d'un contour fermé ne dépend que de ce qui est produit dedans. En 3D, c'est le théorème de Gauss, sur une surface fermée et son volume.
\[ (\nabla\times\vec v)_z = \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y} = \lim_{A\to 0}\frac{\Gamma}{A}, \qquad \omega = \tfrac12\,\nabla\times\vec v \]
Un moulinet minuscule tourne à \(\omega\), antihoraire si le rotationnel est positif.
\[ \frac{\partial c}{\partial t} = -\nabla\cdot\vec J = D\,\nabla^2 c \]
La concentration monte là où le flux converge : avec \(\vec J = -D\nabla c\), c'est l'équation de diffusion (\(\nabla^2\) : « divergence du gradient »).
Exemple chiffré
Une plaque a pour température \(T(x,y) = 20 + 4x + 3y\) (en °C, avec \(x\) et \(y\) en cm).
- Gradient : \(\nabla T = (4;\ 3)\) °C/cm, de longueur \(\sqrt{16 + 9} = 5\) °C/cm, à \(\arctan(3/4) \approx 37°\) de l'axe \(x\).
- Pente à 45° : \(\nabla T\cdot\hat u = (4 + 3)/\sqrt2 \approx 4{,}95\) °C/cm, soit \(5\cos 8°\). Le long de la direction \((-3;\ 4)/5\), on trouve \(-12 + 12 = 0\) : c'est l'isotherme.
- Pour de l'eau (\(k \approx 0{,}6\) W/(m·K)), \(5\) °C/cm \(= 500\) K/m : \(q = 0{,}6 \times 500 = 300\) W/m², opposé au gradient.
- Courant de 3 cm/s, fenêtre de 4 cm dont la normale fait 60° avec lui :\(\Phi = 3 \times 4 \times \cos 60° = 6\) cm²/s.
- Divergence du champ \(\vec v = (x,\,y)\) (cm/s) : \(\nabla\cdot\vec v = 1 + 1 = 2\) s⁻¹. Contrôle sur un cercle de rayon 3 cm : \(\vec v\cdot\hat n = 3\) cm/s, donc \(\Phi = 3 \times 2\pi \times 3 \approx 56{,}5\) cm²/s, soit aussi \(2 \times \pi \times 3^2\).
- Cisaillement \(\vec v = (y,\,0)\) : \(\nabla\cdot\vec v = 0\), mais \((\nabla\times\vec v)_z = 0 - 1 = -1\) s⁻¹, donc \(\omega = -0{,}5\) s⁻¹ : le moulinet tourne dans le sens horaire malgré les lignes droites.
Pièges fréquents
- Croire que des flèches qui s'écartent signalent une divergence. Loin d'une source, elles s'écartent mais faiblissent (\(1/r\) en 2D, \(1/r^2\) en 3D) juste assez pour que ce qui entre dans un petit cercle en ressorte : divergence nulle.
- Croire que des flèches qui font des cercles signalent un rotationnel. Autour d'un tourbillon libre (vitesse en \(1/r\)), le moulinet fait le tour du centre sans tourner sur lui-même ; dans un cisaillement aux lignes droites, il tourne.
- Oublier le signe moins : le gradient pointe vers la montée, ce qui s'écoule va du chaud vers le froid.
- Traiter le gradient comme un nombre. C'est une flèche ; seule la pente dans une direction donnée est un nombre, \(\lvert\nabla f\rvert\cos\theta\).
- Oublier que le flux est algébrique : il dépend de la normale choisie. Une source hors d'un contour donne un flux net nul : ce qui entre ressort.
Où ça resservira
- 03La dérivée du module 03 devient partielle, et le flux est une intégrale.
- 19Fourier et Fick : flux proportionnels à un gradient ; voir la planche Matière, chaleur et transport.
- 20Dans un conduit, le gradient de pression pousse, le débit est un flux et la continuité s'écrit \(\nabla\cdot\vec v = 0\).
- 21\(\vec E = -\nabla V\), équipotentielles, théorème de Gauss ; voir la planche Le champ électrique.
- 23Le champ magnétique n'a ni source ni puits (\(\nabla\cdot\vec B = 0\)) ; un flux magnétique qui varie crée une tension (Faraday).
- 24Les équations de Maxwell s'écrivent entièrement avec des divergences et des rotationnels.
Teste-toi
Température de 40 °C en un point, gradient de 2 °C/cm vers le nord : quelle température à 1 mm à l'est ? au nord-est ?
À l'est, on suit l'isotherme (perpendiculaire au gradient) : environ 40 °C. Au nord-est, \(\theta = 45°\) : pente \(= 2\cos 45° \approx 1{,}41\) °C/cm, soit \(+0{,}14\) °C pour 1 mm, donc environ 40,14 °C. La chaleur s'écoule vers le sud.
Des flèches s'écartent en s'éloignant d'un point : la divergence est-elle positive partout ?
Non. Ce qui compte, c'est le bilan sur un petit contour : si les flèches faiblissent en s'écartant (\(1/r\) en 2D, \(1/r^2\) en 3D), ce qui entre ressort et la divergence est nulle. Elle n'est positive qu'au cœur de la source.
Fenêtre de 4 cm dans un courant de 3 cm/s, normale à 60° du courant : quel flux ? Et à 90° ?
\(\Phi = 3 \times 4 \times \cos 60° = 6\) cm²/s (par cm de profondeur). À 90°, la fenêtre est parallèle au courant : \(\cos 90° = 0\), rien ne la traverse.
Intuition
Un fluide, liquide ou gaz, n'a pas de forme propre : il épouse son contenant et s'écoule dès que quelque chose le pousse. Ce qui le pousse n'est pas la pression elle-même, mais ses différences d'un endroit à l'autre. Le débit dit combien de volume passe par seconde. Dans un tube plein, rien ne s'accumule : ce qui entre ressort, et le fluide va plus vite là où le tube se resserre. Le frottement interne du fluide, la viscosité, s'oppose à l'écoulement, et cette opposition grandit très vite quand le tube s'amincit. Enfin, accélérer un fluide coûte de la pression, que le fluide rend en ralentissant.
Définitions
- Masse volumique \(\rho\)kg/m³
- Masse par unité de volume : environ 1000 pour l'eau, 1060 pour le sang, 1,2 pour l'air.
- Pression \(p\)Pa = N/m²
- Force par unité de surface, exercée dans toutes les directions en un point du fluide. C'est un champ scalaire. On la lit souvent relativement à l'atmosphère.
- Section \(A\)m²
- Aire de la coupe du conduit, perpendiculaire à l'écoulement.
- Vitesse moyenne \(\bar v\)m/s
- Vitesse du fluide moyennée sur la section. Elle vaut la moitié de la vitesse au centre pour un profil parabolique.
- Débit \(Q\)m³/s
- Volume qui traverse une section par seconde : le flux de la vitesse. Repère : 1 L/min \(\approx 1{,}67 \times 10^{-5}\) m³/s.
- Viscosité \(\mu\)Pa·s
- Mesure du frottement interne. Eau : 1 mPa·s ; sang : environ 3,5 mPa·s ; miel : environ 10 Pa·s.
- Résistance hydraulique \(R\)Pa·s/m³
- Rapport entre la différence de pression et le débit dans un conduit.
- Nombre de Reynolds \(\mathrm{Re}\)
- Sans unité : compare l'inertie du fluide à son frottement interne.
Relations clés
\[ p = p_0 + \rho g h, \qquad h = \frac{p - p_0}{\rho g} \]
Fluide au repos : la pression croît avec la profondeur \(h\), avec \(g \approx 9{,}81\) m/s². Un piézomètre, tube vertical ouvert, rend la pression visible : la colonne monte à la hauteur \(h\).
\[ Q = A\,\bar v, \qquad A_1\bar v_1 = A_2\bar v_2 \qquad (\nabla\cdot\vec v = 0) \]
Continuité : un liquide ne se comprime pas et ne s'accumule pas dans un tube rigide. Le débit est le même à chaque section ; la vitesse, elle, varie en sens inverse de la section.
\[ \Delta P = R\,Q, \qquad R = \frac{8\,\mu L}{\pi r^4} \]
Loi de Poiseuille, pour un écoulement lent et régulier (laminaire) dans un tube cylindrique de rayon \(r\) et de longueur \(L\). Même forme que \(U = RI\). Le profil de vitesse est une parabole : nulle à la paroi, maximale au centre.
\[ R_{\text{série}} = R_1 + R_2, \qquad \frac{1}{R_{\text{parallèle}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \]
Les résistances se combinent comme dans un circuit : les débits se partagent en parallèle, les chutes de pression s'additionnent en série.
\[ \mathrm{Re} = \frac{\rho\,\bar v\,D}{\mu} \]
Dans un tube de diamètre \(D\), l'écoulement reste laminaire sous \(\mathrm{Re} \approx 2000\) ; au-delà, des tourbillons apparaissent et le débit devient plus faible que prévu par Poiseuille.
\[ p + \tfrac12\rho v^2 + \rho g z = \text{constante} \]
Bernoulli, le long d'un filet de fluide incompressible, sans frottement, en régime permanent : chaque terme est une énergie par unité de volume. Quand la vitesse monte, la pression baisse (effet Venturi).
Exemple chiffré
Le cœur au repos débite \(5\) L/min, soit \(Q = 5 \times 10^{-3}/60 \approx 8{,}3 \times 10^{-5}\) m³/s.
- Aorte, section \(A \approx 5\) cm² \(= 5 \times 10^{-4}\) m² : \(\bar v = Q/A \approx 0{,}17\) m/s, soit 17 cm/s.
- Capillaires, section totale \(\approx 2500\) cm² \(= 0{,}25\) m² : \(\bar v \approx 3{,}3 \times 10^{-4}\) m/s, soit 0,33 mm/s. La section est 500 fois plus grande, la vitesse 500 fois plus faible : c'est la continuité.
- Régime dans l'aorte : rayon \(\sqrt{5/\pi} \approx 1{,}26\) cm, donc \(D \approx 2{,}5\) cm et \(\mathrm{Re} = 1060 \times 0{,}167 \times 0{,}0252 / (3{,}5 \times 10^{-3}) \approx 1{,}3 \times 10^{3}\), sous le seuil de 2000.
- Résistance de l'ensemble : avec une pression moyenne de 13 kPa (95 mmHg, en négligeant la pression veineuse), \(R = 13\,000 / 8{,}3 \times 10^{-5} \approx 1{,}6 \times 10^{8}\) Pa·s/m³. Une vasoconstriction qui réduit le rayon de 16 % multiplie \(R\) par \((1/0{,}84)^4 \approx 2\) : à pression égale, le débit est divisé par deux.
- Venturi dans l'eau : un tube de rayon 1 cm se rétrécit à 0,5 cm, avec \(Q = 10\) mL/s \(= 10^{-5}\) m³/s. Les vitesses sont \(\bar v_1 = 10^{-5}/(\pi \times 10^{-4}) \approx 3{,}2\) cm/s et \(\bar v_2 \approx 12{,}7\) cm/s (quatre fois plus). La pression baisse de \(\tfrac12 \cdot 1000\,(0{,}127^2 - 0{,}0318^2) \approx 7{,}6\) Pa, soit une colonne plus basse d'environ 0,8 mm.
Pièges fréquents
- Confondre pression et vitesse. Une pression uniforme, si grande soit-elle, ne met rien en mouvement : les poussées se compensent. Ce qui pousse, c'est la différence de pression, son gradient.
- Croire que la pression monte dans un rétrécissement parce que « ça serre ». Dans le col, le fluide va plus vite et la pression baisse. Elle remonte en partie à la sortie, quand le fluide ralentit.
- Croire que la continuité conserve la vitesse. Elle conserve le débit : la vitesse varie en sens inverse de la section.
- Oublier la puissance quatre de Poiseuille. Diviser le rayon par deux multiplie \(R\) par 16, pas par 2 ni par 4. La loi ne vaut que pour un écoulement laminaire établi.
- Appliquer Bernoulli à un fluide visqueux sans corriger. Le frottement fait perdre de la pression de façon définitive, en chaleur : avec du miel, presque toute la chute de pression dans le col est visqueuse.
- Oublier que la pression d'un piézomètre ou d'un tensiomètre est relative à l'atmosphère, non absolue.
Où ça resservira
- 11Bernoulli est la conservation de l'énergie écrite par unité de volume : \(p\), \(\tfrac12\rho v^2\) et \(\rho g z\) sont des énergies par mètre cube.
- 16La pression est un champ scalaire, la force de pression vaut \(-\nabla p\), et le débit est le flux de la vitesse à travers une section.
- 19La viscosité est un transport de quantité de mouvement par frottement interne, cousin de la diffusion de la chaleur et des solutés (planche Matière, chaleur et transport).
- 22\(\Delta P = RQ\) est la jumelle de \(U = RI\), avec les mêmes règles série et parallèle.
- 38Circulation sanguine : pression artérielle, débit cardiaque, et vasoconstriction qui joue sur \(r^4\).
- 44Dans une étoile, le gradient de pression vers l'extérieur équilibre la gravité : c'est l'équilibre hydrostatique.
Teste-toi
Sur une carte météo, les isobares sont très serrées au-dessus d'une région. Qu'en déduis-tu ?
Le gradient de pression y est fort : la pression change beaucoup sur peu de distance, donc la force qui pousse l'air est grande et le vent est fort. Le gradient est perpendiculaire aux isobares et pointe vers les hautes pressions ; l'air est poussé dans l'autre sens (la rotation de la Terre le dévie ensuite).
Dans un tuyau d'arrosage, on pince le bout pour réduire la section de moitié. Que deviennent le débit et la vitesse de sortie ?
Le pincement ajoute une résistance en série : le débit baisse un peu. Mais la section de sortie est divisée par deux, donc la vitesse de sortie \(v = Q/A\) est presque doublée : le jet porte plus loin. Pincer davantage finit par faire chuter le débit, quand la résistance du bout pincé devient comparable à celle du tuyau.
De l'eau (\(\mu = 1\) mPa·s) passe à 1 mL/s dans un tube de rayon 2 mm et de longueur 20 cm. Quelle différence de pression, et l'écoulement est-il laminaire ?
\(R = 8\mu L/(\pi r^4) = 8 \times 10^{-3} \times 0{,}2 / (\pi \times (2 \times 10^{-3})^4) \approx 3{,}2 \times 10^{7}\) Pa·s/m³, donc \(\Delta P = RQ \approx 3{,}2 \times 10^{7} \times 10^{-6} \approx 32\) Pa. La vitesse moyenne vaut \(10^{-6}/(\pi \times 4 \times 10^{-6}) \approx 0{,}08\) m/s, d'où \(\mathrm{Re} = 1000 \times 0{,}08 \times 0{,}004 / 10^{-3} \approx 320\) : c'est laminaire.
≈ 25 °C/kmle gradient de température dans la croûte terrestre. Avec la conductivité des roches (≈ 3 W/(m·K)), Fourier donne un flux de chaleur d'environ 0,08 W/m² qui sort de la Terre : ce qu'on mesure.
1 mPa·s · 3,5 mPa·s · 10 Pa·sles viscosités de l'eau, du sang et du miel. Dix mille fois plus visqueux, le miel coule dix mille fois moins vite sous la même différence de pression.
5 L/minle débit du cœur au repos. Il passe en entier dans l'aorte (≈ 5 cm² de section, ≈ 17 cm/s) puis dans les capillaires (≈ 2500 cm² au total) : même débit, section 500 fois plus grande, vitesse 500 fois plus faible (≈ 0,3 mm/s). C'est la continuité.
r ÷ 2 → R × 16Poiseuille : la résistance d'un tube varie comme 1/r⁴. Réduire le rayon de 16 % suffit à la doubler.
Re ≈ 2000le seuil approximatif entre écoulement laminaire et turbulent dans un tube.