Comprendre les oscillations et les ondes

\[ y(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0), \qquad \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} \]

La sinusoïde est la projection du point qui tourne. Tout le reste en découle.

\[ \Delta t = \frac{\Delta\varphi}{2\pi}\,T \]

Un déphasage est un décalage dans le temps, mesuré en fraction de période : 90° de retard, c’est un quart de période.

\[ \frac{\dd y}{\dd t} = A\omega\cos(\omega t + \varphi_0) = A\omega\sin\!\left(\omega t + \varphi_0 + \tfrac{\pi}{2}\right) \]

La vitesse est elle-même une sinusoïde, en avance de 90° et d’amplitude \(A\omega\) : elle est maximale quand \(y\) passe par zéro, nulle aux extrêmes (module 03).

\[ A\sin(\omega t) + A\sin(\omega t + \Delta\varphi) = 2A\cos\frac{\Delta\varphi}{2}\,\sin\!\left(\omega t + \frac{\Delta\varphi}{2}\right) \]

Deux sinusoïdes de même fréquence donnent encore une sinusoïde de même fréquence : on met les flèches tournantes bout à bout. Amplitude \(2A\) en phase, nulle en opposition (étape A2).

\[ \langle y \rangle = 0, \qquad y_{\text{eff}} = \sqrt{\langle y^2 \rangle} = \frac{A}{\sqrt2} \]

Sur un cycle complet, un sinus est autant positif que négatif : sa moyenne est nulle. Son carré ne l’est jamais, et sa moyenne vaut \(A^2/2\). C’est pour cela qu’une tension alternative se caractérise par sa valeur efficace.

\[ F = -k\,x \]

Loi de Hooke : la force de rappel est proportionnelle au déplacement et de sens opposé. C’est elle qui rend l’oscillation sinusoïdale.

\[ m\,\ddot x + b\,\dot x + k\,x = F_0\cos(\Omega t) \]

Deuxième loi de Newton (module 10) appliquée à la masse : inertie, frottement, rappel, poussée.

\[ x(t) = A\cos(\omega_0 t + \varphi_0), \qquad E = \tfrac12 m v^2 + \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2 \]

Sans frottement ni poussée : un sinus à la pulsation propre, et une énergie totale constante qui s’échange deux fois par période.

\[ \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{\ell}} \qquad \text{(pendule simple, petits angles)} \]

Pour un petit angle, \(\sin\theta \approx \theta\) et le pendule devient un oscillateur harmonique : sa période ne dépend ni de la masse ni de l’amplitude. À 30°, l’écart à cette formule n’est encore que de 1,7 %.

\[ x(t) = A_0\,\mathrm{e}^{-\beta t}\cos(\omega_d t + \varphi_0), \qquad \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} \]

Avec un frottement faible (\(\beta \lt \omega_0\)) : l’oscillation continue, un peu plus lente, sous une enveloppe exponentielle (module 05).

\[ A(\Omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + (2\beta\Omega)^2}} \]

Régime permanent forcé : l’amplitude culmine près de \(\Omega = \omega_0\) ; le pic est d’autant plus haut et étroit que \(Q\) est grand. Le retard de la masse sur la force passe de 0° (forçage lent) à 90° (résonance) puis 180° (forçage rapide).

\[ y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \varphi_0), \qquad c = \lambda f = \frac{\omega}{k} \]

Onde progressive vers les \(x\) croissants. En un point fixe, on retrouve le sinus du module 06 ; à un instant fixé, une sinusoïde dans l’espace.

\[ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^2\,\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}, \qquad c = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]

Équation d’onde d’une corde tendue (tension \(T\), masse linéique \(\mu\)), valable aux petits angles. Elle est linéaire : c’est ce qui permet la superposition.

\[ y_1 + y_2 \;\text{ a pour amplitude }\; 2A\left|\cos\frac{\Delta\varphi}{2}\right| \]

Deux ondes de même amplitude et de même fréquence : interférence constructive à \(\Delta\varphi = 0\) (amplitude \(2A\)), destructive à \(\Delta\varphi = 180°\) (amplitude nulle).

\[ A\sin(kx - \omega t) + A\sin(kx + \omega t) = 2A\sin(kx)\cos(\omega t), \qquad f_n = n\,\frac{c}{2L} \]

Une onde et son retour forment une onde stationnaire. Sur une corde fixée aux deux bouts, seuls les modes de fréquence \(f_n\) tiennent ; deux nœuds voisins sont à \(\lambda/2\).

\[ f' = \frac{f}{1 - v_s/c}\ \text{(devant)}, \qquad f' = \frac{f}{1 + v_s/c}\ \text{(derrière)} \]

Effet Doppler pour une source qui avance à \(v_s\) dans un milieu au repos, observateur immobile : les fronts se tassent devant, s’étirent derrière.

\[ I \propto A^2, \qquad I = \frac{P}{4\pi r^2}\ \ \text{(source ponctuelle, en 3D)} \]

L’énergie d’une onde va comme le carré de l’amplitude : doubler l’amplitude quadruple l’intensité. Depuis une source ponctuelle de puissance \(P\), cette puissance s’étale sur une sphère : à deux fois la distance, quatre fois moins d’intensité.