LABO · Fondations 04 · 05 · 07

Comprendre systèmes, croissance et hasard

Trois idées très générales, qui reviennent partout en science. Un système a un état, et une règle dit à quelle vitesse cet état change, compte tenu de ce qu'il vaut maintenant. Quand ce changement est proportionnel à l'état, on obtient une exponentielle. Et des événements individuels imprévisibles, répétés en grand nombre, produisent des distributions prévisibles. La planche finit là où les trois se rejoignent : des atomes qui se désintègrent au hasard dessinent en moyenne l'exponentielle du chapitre C.

Les nombres soulignés se règlent par glisser ou avec les flèches du clavier. Les termes pointillés montrent leur définition au survol. Manipule les scènes intégrées, déroule les exemples puis vérifie tes réponses.

MODULE 04Systèmes qui évoluent dans le temps2 scènes intégrées · 3 calculs vivants MODULE 05Exponentielles et logarithmes2 scènes intégrées · 3 calculs vivants MODULE 07Hasard, probabilité et distributions2 scènes intégrées · 3 calculs vivants

1Ce que tu vois

Le graphe x(t)Le même dans presque toutes les étapes : le temps en secondes vers la droite, l'état vers le haut. Trait plein blanc cassé pour ce que le système fait, tireté gris pour une solution exacte ou une prévision théorique.Ouvrir l’étape 04.1 ↗La flèche de tauxLa vitesse de changement de l'état, maintenant. Orange si l'état augmente, bleue s'il diminue, grise s'il ne bouge pas. Sur le graphe, elle devient un petit segment de tangente : sa pente est le taux.Ouvrir l’étape 04.1 ↗La ligne de phaseL'axe de l'état seul, avec des flèches qui disent où le système va depuis chaque valeur. Un équilibre stable est un point plein citron ; un équilibre instable, un cercle vide.Ouvrir l’étape 04.2 ↗Le paysage et la bille (B1)Une image de la rétroaction : dans la cuvette, la bille revient au fond ; sur le dôme, elle s'en éloigne. Elle glisse comme dans du miel, sans élan : seule compte la pente là où elle se trouve.Ouvrir l’étape 04.3 ↗Les repères ×2 et ÷2Un repère jaune à chaque temps de doublement ou de demi-vie. Ils tombent à intervalles égaux : c'est la signature d'une exponentielle.Ouvrir l’étape 05.1 ↗Les histogrammesBarres citron : ce qui a été observé. Trait fin ou tireté : ce que la théorie prévoit. Trait jaune : la moyenne observée, ou le dernier tirage.Ouvrir l’étape 07.1 ↗

2La théorie, module par module

Module 04

Systèmes qui évoluent dans le temps

Sur la planche : 04.1 Taux 04.2 Départs 04.3 Boucle 04.4 Logistique

Intuition

Un système, c’est tout ce qui change avec le temps selon une règle : un réservoir qui se vide, une population, une tasse de café, une bille dans un paysage. Pour le décrire, on n’a pas besoin de savoir où il sera : il suffit de savoir où il en est maintenant, son état, et à quelle vitesse cet état change compte tenu de ce qu’il vaut. Cette règle s’appelle une équation différentielle. Elle agit comme une boussole locale : à chaque instant, elle donne la direction du prochain pas. La rétroaction est le cas où l’état influence son propre changement, soit pour se corriger (négative), soit pour s’emballer (positive). Entre les deux se trouvent les équilibres : des états où plus rien ne bouge, mais qui ne se valent pas, car certains rattrapent les perturbations et d’autres les amplifient.

04.1Change Δt et compare la ligne brisée à la solution exacte.Ouvrir à cette étape ↗

Définitions

État \(x\)unité de la grandeur: Le plus petit ensemble de nombres qui suffit à prédire la suite une fois la règle connue. Ici, un seul nombre (niveau, population, température, écart).
Taux de changement \(\dd x/\dd t\)unité de \(x\) par s: Vitesse à laquelle l’état change à cet instant : la pente de la tangente sur le graphe \(x(t)\).
Règle \(f(x)\): Fonction qui donne le taux en fonction de l’état : \(\dd x/\dd t = f(x)\). C’est l’équation différentielle.
Condition initiale \(x_0\): Valeur de départ \(x(0)\). La règle et la condition initiale fixent une seule trajectoire.
Équilibre \(x^*\): État où le taux est nul : \(f(x^*) = 0\). Si le système y est, il y reste.
Constante de temps \(\tau\)s: Durée caractéristique d’un retour (ou d’une fuite) exponentiel : l’écart est divisé (ou multiplié) par \(\mathrm{e}\) en \(\tau\).
Rétroaction négative, positive: Négative : un écart provoque une réponse qui le réduit. Positive : un écart provoque une réponse qui l’augmente.
Stabilité: Un équilibre est stable si une petite perturbation s’efface, instable si elle grandit.
Taux de croissance \(r\)s⁻¹ et capacité \(K\): Paramètres de la croissance logistique : \(r\) est le taux de croissance sans frein, \(K\) la valeur que le milieu peut soutenir (unité de \(N\)).

Relations clés

\[ \frac{\dd x}{\dd t} = f(x), \qquad x(0) = x_0 \]

La règle ne dit pas où sera \(x\) : elle dit à quelle vitesse \(x\) change, compte tenu de ce qu’il vaut maintenant. Avec la condition initiale, elle détermine toute la trajectoire.

\[ x(t + \Delta t) \approx x(t) + f\bigl(x(t)\bigr)\,\Delta t \]

Méthode d’Euler : on calcule le taux, on le suppose constant pendant \(\Delta t\), on fait le pas. Exacte quand \(\Delta t \to 0\), c’est le principe de toute simulation de la série.

À toi : un pas d’Euler

État x = , pas Δt = . La règle est dx/dt = 0,2x.

Taux = u/s ; nouvel état x + f(x)Δt = u.

À comparer à la solution exacte x·e^0,2Δt = u.

\[ \begin{aligned} \dd x/\dd t = a &\ \Rightarrow\ x = x_0 + a\,t \\ \dd x/\dd t = k\,x &\ \Rightarrow\ x = x_0\,\mathrm{e}^{kt} \\ \dd x/\dd t = -(x - x^*)/\tau &\ \Rightarrow\ x = x^* + (x_0 - x^*)\,\mathrm{e}^{-t/\tau} \end{aligned} \]

Les trois règles de référence de la planche : taux constant, taux proportionnel à l’état, retour vers une cible.

\[ f'(x^*) \lt 0 \Rightarrow \text{stable}, \qquad f'(x^*) \gt 0 \Rightarrow \text{instable} \]

Le critère se lit sur le graphe du taux : si \(f\) descend en coupant l’axe, le taux ramène vers \(x^*\) des deux côtés. Près de l’équilibre, l’écart \(e = x - x^*\) évolue comme \(\mathrm{e}^{\mp t/\tau}\) (négative : retour, positive : fuite), avec \(\tau \approx 1/|f'(x^*)|\).

À toi : un temps de retour

Écart initial 0,5 u ; τ = , durée t = .

Écart après retour : u ; après amplification : u.

Le calcul d’amplification est sans butée ; la planche sature à |e| = 4.

\[ \frac{\dd N}{\dd t} = r\,N\Bigl(1 - \frac{N}{K}\Bigr), \qquad \left.\frac{\dd N}{\dd t}\right|_{\max} = \frac{rK}{4}\ \text{ en } N = \frac{K}{2} \]

Croissance logistique : exponentielle quand \(N\) est petit, saturation vers \(K\) ensuite. Deux équilibres : 0 (instable, \(f'(0) = r\)) et \(K\) (stable, \(f'(K) = -r\)).

À toi : une population et sa capacité

N₀ = , r = , K = .

À t = 5 s : N = u. Taux maximal rK/4 = u/s.

Solution logistique exacte ; la planche emploie RK4. Le graphe couvre 0 à 20 s.

04.4Clique pour lancer une population sous ou au-dessus de K ; compare le taux et la trajectoire.Ouvrir à cette étape ↗

Avec r = 0,8 s⁻¹ et K = 100 u, quel est le taux maximal de la croissance logistique ?

À N = K/2 = 50 u : rK/4 = 0,8 × 100/4 = 20 u/s.

Exemple chiffré

Un café à \(90\) °C dans une pièce à \(20\) °C. Hypothèse : refroidissement de Newton, \(\dd T/\dd t = -(T - 20)/\tau\), avec \(\tau = 20\) min.

Taux initial : \(-(90 - 20)/20 = -3{,}5\) °C/min.
Solution exacte : \(T(t) = 20 + 70\,\mathrm{e}^{-t/20}\). À \(t = 20\) min : \(20 + 70 \times 0{,}368 \approx 45{,}8\) °C. À \(t = 40\) min : \(20 + 70 \times 0{,}135 \approx 29{,}5\) °C.
Euler avec \(\Delta t = 10\) min : premier pas \(90 - 3{,}5 \times 10 = 55\) °C (exact : \(20 + 70\,\mathrm{e}^{-0{,}5} \approx 62{,}5\) °C), deuxième pas \(55 - 1{,}75 \times 10 = 37{,}5\) °C (exact à 20 min : 45,8 °C). Avec \(\Delta t = 1\) min : \(20 + 70 \times 0{,}95^{20} \approx 45{,}1\) °C, presque exact.
Logistique de la planche : \(r = 0{,}8\) s⁻¹, \(K = 100\). Depuis \(N = 2\), le taux vaut \(0{,}8 \times 2 \times 0{,}98 \approx 1{,}6\) par seconde (comme une exponentielle). Il atteint son maximum, \(rK/4 = 20\) par seconde, en \(N = 50\), puis retombe à 0 en \(N = 100\).

Pièges fréquents

Croire qu’un équilibre est forcément un état où le système finit. Un équilibre instable existe vraiment (la bille posée pile au sommet du dôme), mais le moindre bruit l’en fait partir.
Juger les mots : « négative » ne veut pas dire mauvaise. Une rétroaction négative stabilise (thermostat, glycémie) ; une positive amplifie (larsen, avalanche). Seul compte l’effet sur l’écart.
Prendre un pas trop grand : avec \(\Delta t = 2\) s la ligne brisée d’Euler s’écarte nettement de la vraie courbe, et au-delà de \(2\tau\) elle se met à osciller en grandissant.
Croire que deux trajectoires de la même règle peuvent se croiser. Avec une seule variable d’état, un état donné n’a qu’un seul avenir.

Où ça resservira

05La solution de \(\dd x/\dd t = kx\) est l’exponentielle : le module suivant l’étudie en détail.
03Le taux de changement est la dérivée, et l’état s’obtient en accumulant les taux.
08Au-delà d’une variable : bifurcations, plusieurs équilibres, chaos.
14Un oscillateur a deux variables d’état (position et vitesse) : planche Oscillations et ondes.
22Charge du condensateur : retour vers une cible avec \(\tau = RC\), planche Courant et circuits.
37L’homéostasie (température, glycémie) est une rétroaction négative ; les rétroactions du climat se comptent de la même façon.
41Populations et épidémies : exponentielle, puis logistique.

Teste-toi

Sur le graphe du taux \(f(x)\), la courbe coupe l’axe en \(x = 4\) en montant. L’équilibre est-il stable ?

Instable : l’écart est amplifié.
Stable : le système revient à 4.

Non. Juste au-dessus de 4, \(f\) est positive : \(x\) augmente et s’éloigne. Juste en dessous, \(f\) est négative : \(x\) diminue et s’éloigne aussi. Pente positive, donc rétroaction positive, donc instable.

Règle \(\dd x/\dd t = -(x - 20)/5\) (temps en minutes). Depuis \(x = 70\), que donne un pas d’Euler de 1 minute ?

Taux : \(-(70 - 20)/5 = -10\) par minute. Nouvel état : \(70 - 10 \times 1 = 60\). Le système avance vers la cible 20, de plus en plus lentement.

Le larsen d’un micro est-il une rétroaction positive ou négative ? Pourquoi s’arrête-t-il de croître ?

Positive ; l’amplificateur finit par saturer.
Négative ; elle ramène le son au silence.

Positive : le son sorti du haut-parleur rentre dans le micro, est amplifié, ressort plus fort. Il s’arrête quand l’amplificateur sature : une limite physique stoppe l’emballement.

Module 05

Exponentielles et logarithmes

Sur la planche : 05.1 Explose 05.2 Log

Intuition

Une croissance linéaire ajoute la même quantité à chaque intervalle de temps. Une croissance exponentielle multiplie par le même facteur. C’est toute la différence, et elle suffit à expliquer l’explosion : au début, les deux courbes se confondent, quelques doublements plus tard elles n’ont plus rien à voir. Une conséquence frappante : le temps pour doubler (ou pour diviser par deux) ne dépend pas de la quantité de départ. Le logarithme est l’opération inverse : l’exponentielle répond à « où serai-je après un temps t ? », le logarithme à « combien de temps, ou combien de multiplications, pour arriver là ? ». Sur une échelle logarithmique, multiplier devient avancer d’un pas constant, ce qui permet de mettre sur un même graphe des valeurs de tailles très différentes.

05.1Change k, puis utilise le zoom arrière pour suivre plusieurs doublements.Ouvrir à cette étape ↗

Définitions

Taux exponentiel \(k\)s⁻¹: Fraction de la valeur gagnée (\(k \gt 0\)) ou perdue (\(k \lt 0\)) par unité de temps. Le produit \(kt\) est sans unité.
Facteur multiplicatif: Nombre par lequel on multiplie à chaque unité de temps : \(\mathrm{e}^{k}\) par seconde.
Nombre \(\mathrm{e}\): Environ 2,718. Seule base pour laquelle \(\mathrm{e}^{kt}\) a un taux égal à \(k\) fois sa valeur.
Temps caractéristique \(\tau\)s: Durée pour multiplier ou diviser par \(\mathrm{e}\) : \(\tau = 1/|k|\).
Temps de doublement \(T_2\)s: Durée pour multiplier par 2 (cas \(k \gt 0\)).
Demi-vie \(T_{1/2}\)s: Durée pour diviser par 2 (cas \(k \lt 0\)).
Logarithme: \(\ln\) est en base \(\mathrm{e}\), \(\log_{10}\) en base 10 (nombre de facteurs 10, donc l’ordre de grandeur), \(\log_2\) compte les doublements. \(\ln x\) est l’exposant \(y\) tel que \(\mathrm{e}^{y} = x\).
Échelle logarithmique: Axe où chaque facteur 10 (une décade) occupe la même longueur.

Relations clés

\[ x(t) = x_0\,\mathrm{e}^{kt}, \qquad \frac{\dd x}{\dd t} = k\,x \]

Croissance (\(k \gt 0\)), décroissance (\(k \lt 0\)) ou constance (\(k = 0\)). Toute autre base revient au même avec un autre \(k\) : \(2^{t/T_2} = \mathrm{e}^{t\ln 2/T_2}\).

À toi : additionner ou multiplier

x₀ = , k = .

À 10 s, exponentielle : u ; droite de même pente initiale : u.

Le trait est l’exponentielle ; le segment est la tangente initiale, limitée ici aux deux premières secondes.

\[ \tau = \frac{1}{|k|}, \qquad T_2 = \frac{\ln 2}{k}, \qquad T_{1/2} = \frac{\ln 2}{|k|} \approx 0{,}69\,\tau \]

Ces durées ne dépendent pas de la valeur de départ. Après \(n\) demi-vies, il reste \(1/2^n\) : dix demi-vies, environ un millième (\(2^{10} = 1024\)).

À toi : le rythme sans la quantité

Taux k = .

\[ t = \frac{1}{k}\ln\frac{x}{x_0}, \qquad \text{nombre de doublements} = \log_2\frac{x}{x_0} \]

L’opération inverse : le temps écoulé se lit dans l’exposant, et c’est le logarithme qui va le chercher.

À toi : retrouver le temps

Taux positif k = , rapport y/x₀ = .

t = ln(y/x₀)/k = s ; nombre de doublements = .

\[ \ln(ab) = \ln a + \ln b, \qquad \ln x = 2{,}303\,\log_{10} x \]

Le logarithme transforme les produits en sommes. Les logarithmes de bases différentes ne diffèrent que d’un facteur constant.

\[ \log_{10} x = \log_{10} x_0 + \frac{k}{\ln 10}\,t \]

Sur un axe logarithmique, une exponentielle devient une droite : la pente donne \(k\) (en décades par seconde, \(k/2{,}303\)). Le temps pour multiplier par 10 vaut \(\ln 10/k\).

05.2Glisse la sonde jaune, puis compare les échelles linéaire et logarithmique ; lis le temps à droite.Ouvrir à cette étape ↗

À k = 0,35 s⁻¹, le temps de doublement change-t-il quand x₀ passe de 1 à 10 u ?

Non, il reste égal à ln 2 / k ≈ 1,98 s.
Oui, il est multiplié par 10.
Oui, il est divisé par 10.

Le rapport x(t)/x₀ vaut e^kt : le doublement dépend de k seul.

\[ T_2 \approx \frac{70}{p}\ \text{ans, pour une croissance de } p\ \text{ pour cent par an} \]

Règle de 70, qui vient de \(\ln 2 \approx 0{,}69\). Bonne approximation tant que \(p\) est de quelques pour cent.

Exemple chiffré

Réglage par défaut de la planche : \(x_0 = 1\), \(k = 0{,}35\) s⁻¹.

Facteur par seconde : \(\mathrm{e}^{0{,}35} \approx 1{,}42\). Temps caractéristique : \(\tau = 1/0{,}35 \approx 2{,}86\) s. Temps de doublement : \(T_2 = 0{,}693/0{,}35 \approx 1{,}98\) s, soit environ 2 s.
Après 10 s : \(x = \mathrm{e}^{3{,}5} \approx 33{,}1\). Une croissance linéaire de même pente initiale donnerait \(x_0(1 + kt) = 1 + 3{,}5 = 4{,}5\) : les deux courbes se sont séparées.
Temps pour atteindre 1000 : \(t = \ln 1000/0{,}35 \approx 6{,}91/0{,}35 \approx 19{,}7\) s, soit \(19{,}7/1{,}98 \approx 10\) doublements, cohérent avec \(2^{10} \approx 10^3\). Temps pour multiplier par 10 : \(\ln 10/0{,}35 \approx 6{,}6\) s.
Décroissance du carbone 14 : \(T_{1/2} = 5\,730\) ans, donc \(k = -0{,}693/5\,730 \approx -1{,}21 \times 10^{-4}\) an⁻¹. Après 10 000 ans, il reste \(2^{-10\,000/5\,730} \approx 0{,}30\), soit 30 % de la quantité initiale.

Pièges fréquents

Croire que « +10 % par an » double en 10 ans. Il faut \(\ln 2/\ln 1{,}1 \approx 7{,}3\) ans, et la règle de 70 donne bien 7 : l’intérêt s’ajoute à l’intérêt.
Penser que deux demi-vies font disparaître la quantité. Il en reste le quart, puis le huitième : on ne tombe jamais exactement à zéro.
Mélanger \(\ln\) et \(\log_{10}\) : les deux sont reliés par le facteur 2,303, qu’une calculatrice ne rajoute pas toute seule.
Lire une droite sur axe logarithmique comme une croissance linéaire. Une droite en échelle log est une exponentielle ; sa pente est un taux relatif, pas une quantité ajoutée par seconde.
Oublier que l’exposant est sans unité : \(k\) en s⁻¹ doit être multiplié par un temps en secondes, pas en minutes.
Tracer le logarithme de zéro ou d’une valeur négative : il n’existe pas, et un axe log ne montre jamais zéro.

Où ça resservira

04L’exponentielle est la solution de la règle « taux proportionnel à l’état ». Aucune ne dure : la logistique de B2 prend le relais.
01Ordres de grandeur et axes logarithmiques : planche Langage scientifique.
03La dérivée de \(\mathrm{e}^{kt}\) est \(k\,\mathrm{e}^{kt}\) : accumulation et changement.
14L’amortissement d’un oscillateur donne une enveloppe \(\mathrm{e}^{-\beta t}\), planche Oscillations et ondes.
22Charge et décharge d’un condensateur, \(\mathrm{e}^{-t/RC}\) : planche Courant et circuits.
26Désintégration radioactive et datation au carbone 14.
41Épidémies et populations : la phase de croissance exponentielle, puis la saturation.

Teste-toi

Une population double toutes les 3 heures. Combien de temps pour qu’elle soit multipliée par 1000 ?

Environ 30 heures : \(1000 \approx 2^{10}\), donc 10 doublements de 3 heures. Exactement : \(\log_2 1000 \approx 9{,}97\) doublements, soit 29,9 h. C’est le logarithme qui répond.

Il reste 1/8 du carbone 14 dans un os. Quel âge a-t-il ?

\(1/8 = (1/2)^3\) : trois demi-vies, soit \(3 \times 5\,730 = 17\,190\) ans, environ 17 200 ans. Le temps écoulé se lit dans l’exposant.

Des données forment une droite de pente 0,15 décade par jour sur un axe logarithmique. Quel est le temps de doublement ?

Multiplier par 2 correspond à \(\log_{10} 2 \approx 0{,}301\) décade, donc \(0{,}301/0{,}15 \approx 2{,}0\) jours. Pour multiplier par 10, il faut 1 décade, soit \(1/0{,}15 \approx 6{,}7\) jours.

Module 07

Hasard, probabilité et distributions

Sur la planche : 07.1 Dé 07.2 Marche 07.3 Atomes

Intuition

Un événement individuel peut être imprévisible alors que la répétition de beaucoup d’événements est très prévisible. Personne ne sait quelle face donnera le prochain lancer d’un dé, mais la proportion de 6 sur mille lancers est presque connue d’avance. La probabilité mesure cette régularité. Autour d’elle, deux nombres résument un grand nombre de résultats : la moyenne (où ils se placent) et l’écart-type (à quel point ils s’étalent). La distribution donne le tableau complet. Comme on n’observe jamais qu’un échantillon fini, les résultats fluctuent autour de la prévision, de moins en moins en proportion quand l’échantillon grossit. Enfin, quand beaucoup de petits effets aléatoires s’additionnent, une forme revient presque toujours : la cloche.

07.1Ajoute des paquets de 1 000 lancers ; compare la moyenne observée à 3,5.Ouvrir à cette étape ↗

Définitions

Issue, événement: Une issue est un résultat possible d’une expérience aléatoire ; un événement est un ensemble d’issues (« obtenir un nombre pair »).
Probabilité \(p\): Nombre entre 0 (impossible) et 1 (certain). Les probabilités de toutes les issues font 1.
Fréquence observée: Proportion de fois où l’événement est arrivé sur \(n\) essais. Elle fluctue, puis se rapproche de \(p\) : c’est la loi des grands nombres.
Moyenne, espérance \(\mu\): Moyenne observée : somme des résultats divisée par leur nombre. Espérance : sa valeur théorique, somme des issues pondérées par leurs probabilités. Même unité que le résultat.
Variance \(\sigma^2\)unité au carré: Moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
Écart-type \(\sigma\): Racine de la variance, dans la même unité que les résultats.
Distribution: Probabilité de chaque résultat possible. L’histogramme en est l’image observée.
Échantillon, fluctuation: Un échantillon est un nombre fini d’observations ; la fluctuation est l’écart, d’un échantillon à l’autre, par rapport à la prévision.
Taux de désintégration \(\lambda\)s⁻¹: Probabilité par seconde qu’un noyau intact se désintègre, quel que soit son âge.

Relations clés

\[ \mu = \sum_i x_i\,p_i, \qquad \sigma^2 = \sum_i (x_i - \mu)^2\,p_i = \langle x^2\rangle - \mu^2 \]

Moyenne théorique et variance d’une distribution. Pour un dé : \(\mu = 3{,}5\), \(\sigma^2 = 35/12\), \(\sigma \approx 1{,}71\).

\[ \sigma_{\text{freq}} = \sqrt{\frac{p\,(1 - p)}{n}} \]

Largeur typique de la fréquence observée après \(n\) essais. Quatre fois plus d’essais pour être deux fois plus précis.

À toi : la précision des lancers

n = d’un dé équilibré.

Fréquence de 6 attendue : 16,67 % ; dispersion σ_freq = points. Moyenne attendue : 3,5 ; σ de la moyenne = .

Une bande à deux σ couvre environ 95 % des échantillons à effectif fixé, pas tous les tirages ni toute une trajectoire.

\[ \sigma_{\text{somme}} = \sqrt{n}\,\sigma, \qquad \sigma_{\text{moyenne}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

Les variances de pas indépendants s’additionnent. Pour une marche de pas \(\pm 1\), \(\sigma = \sqrt{n}\) après \(n\) pas. La moyenne de \(n\) mesures est \(\sqrt{n}\) fois plus précise.

À toi : étaler le nuage

Après n = , la largeur typique σ = √n vaut pas. Deux fois plus large demanderait pas.

La planche s’arrête à 400 pas. Les exemples à 900 et 3 600 pas ci-dessous prolongent la même loi par le calcul.

\[ \varphi(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\mathrm{e}^{-(x - \mu)^2/(2\sigma^2)} \]

La cloche (loi normale). Une somme de nombreux petits effets aléatoires indépendants lui ressemble presque toujours (théorème central limite, seulement aperçu ici) : environ 68 % des valeurs à moins de \(1\sigma\) de la moyenne, 95 % à moins de \(2\sigma\).

\[ \frac{\dd N}{\dd t} = -\lambda N \ \Rightarrow\ N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}, \qquad T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \]

Chaque noyau intact a la probabilité \(\lambda\,\dd t\) de partir pendant \(\dd t\), sans mémoire : le nombre de départs attendu est \(\lambda N\,\dd t\). Le hasard individuel dessine l’exponentielle collective, avec des fluctuations relatives en \(1/\sqrt{N}\).

À toi : compter les demi-vies

N₀ = , h = (T½ = 2 s).

Fraction attendue q = 2^−h = % ; nombre moyen N₀q = ; dispersion σ = atomes.

Les nombres décimaux décrivent une moyenne sur beaucoup de relances, pas un compte individuel.

07.3Compare 25, 400 puis 2 500 atomes : la dispersion relative se réduit. Relance pour comparer les échantillons.Ouvrir à cette étape ↗

Après 100 pas, le nuage a une largeur typique de 10 pas. Par quel facteur multiplier le nombre de pas pour doubler cette largeur ?

σ = √n : doubler σ demande de multiplier n par 4, soit 400 pas.

Exemple chiffré

Les trois étapes de la planche, avec leurs valeurs par défaut.

Dé : \(\mu = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3{,}5\). Variance : \((6{,}25 + 2{,}25 + 0{,}25 + 0{,}25 + 2{,}25 + 6{,}25)/6 = 35/12 \approx 2{,}92\), donc \(\sigma \approx 1{,}71\).
Sur \(n = 600\) lancers, on attend \(100\) fois le 6. La fréquence a pour écart-type \(\sqrt{(1/6)(5/6)/600} \approx 1{,}5\) %, soit environ \(\pm 9\) lancers sur le décompte (\(\sqrt{600 \times 5/36} \approx 9{,}1\)). Obtenir entre 91 et 109 six est donc normal.
Marche aléatoire : après \(n = 900\) pas, \(\sigma = \sqrt{900} = 30\) pas, et pour étaler le nuage deux fois plus (\(\sigma = 60\)), il faut \(3\,600\) pas.
Atomes : \(N_0 = 400\), \(T_{1/2} = 2\) s. À \(t = 2\) s, on attend \(200\) atomes intacts, avec une fluctuation de \(\sqrt{400 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = 10\), soit 5 %. Avec 25 atomes, la même fluctuation relative est de 20 %, avec 2 500 de 2 %.

Pièges fréquents

Croire que le hasard « se rattrape » : après dix 6 de suite, le suivant a toujours une chance sur six. Le dé n’a pas de mémoire ; la loi des grands nombres dilue les écarts, elle ne les compense pas.
Prendre la moyenne pour un résultat possible ou typique : 3,5 n’est jamais obtenu en un lancer.
Confondre \(\sigma\) et \(\sigma/\sqrt{n}\) : l’étalement des données ne diminue pas quand on en ajoute ; c’est l’incertitude sur leur moyenne qui diminue.
Croire que le nuage de la marche s’étale proportionnellement au nombre de pas : il s’étale comme \(\sqrt{n}\).
Déduire le comportement individuel de la loi collective. Elle dit combien d’atomes partiront, jamais lequel : un atome vieux de mille ans a la même probabilité de partir qu’un atome tout neuf.

Où ça resservira

04La loi de désintégration est la règle « taux proportionnel à l’état » issue de probabilités individuelles.
05La demi-vie et l’exponentielle de D3 sont celles du module 05.
01Mesurer plusieurs fois : la moyenne réduit l’incertitude d’un facteur \(\sqrt{n}\), et les barres d’erreur sont des écarts-types.
17Des 10²³ molécules d’un gaz, imprévisibles une à une, naissent des lois nettes comme \(PV = NkT\).
19La diffusion est la marche aléatoire de D2 avec des molécules : largeur en \(\sqrt{t}\), planche Matière, chaleur et transport.
40Les proportions de Mendel sont des probabilités ; la dérive génétique est une marche aléatoire, plus forte quand la population est petite : planche Évolution et génétique des populations.
48En mécanique quantique, le résultat d’une mesure individuelle est imprévisible, sa distribution est prédite exactement.

Teste-toi

Tu lances une pièce 100 fois et obtiens 58 piles. La pièce est-elle truquée ?

Non : cet écart reste compatible avec une pièce honnête.
Oui : tout écart à 50 piles prouve une triche.

Pas de quoi conclure. L’écart-type de la fréquence vaut \(\sqrt{0{,}25/100} = 5\) % : 58 % est à 1,6 \(\sigma\) de 50 %, ce qui arrive environ une fois sur dix avec une pièce honnête. Pour trancher, il faut beaucoup plus de lancers.

Pour que le nuage de D2 soit deux fois plus large, combien de pas faut-il ? Donne le facteur multiplicatif.

Quatre fois plus, puisque \(\sigma = \sqrt{n}\). C’est pourquoi la diffusion est efficace sur un micromètre et désespérément lente sur un mètre.

Un sondage de 1000 personnes donne une marge d’environ \(\pm 3\) points. Combien de personnes pour la diviser par deux ?

La marge (deux \(\sigma\), au pire \(p = 1/2\)) vaut \(2\sqrt{0{,}25/1000} \approx 3{,}2\) points et varie comme \(1/\sqrt{n}\). La diviser par deux demande quatre fois plus de monde : 4000 personnes (marge d’environ 1,6 point).

3Ce que la simulation simplifie

Une seule variable d'état. Tous les systèmes du module 4 sont décrits par un nombre. Avec deux variables ou plus, on obtient des oscillations (planche Oscillations), des cycles proie-prédateur ou du chaos, qui demandent un plan de phase et non une ligne.
Unités génériques. En A, x est en « unités » et le temps en secondes de simulation : c'est la forme de la règle qui compte, pas le phénomène.
Mouvement sur-amorti en B1. La bille n'a pas d'inertie : sa vitesse est fixée par la pente. Une vraie bille roulerait et oscillerait au fond de la cuvette (c'est l'oscillateur de la planche Oscillations).
Saturation. Le dôme de B1 est borné : dans la réalité, une rétroaction positive finit toujours par rencontrer une limite (le haut-parleur du larsen sature, le combustible s'épuise), et le modèle linéaire cesse d'être valable.
Exponentielle exacte en C. La courbe est calculée directement par la formule, sans intégration ni bruit. Les données réelles ne sont exponentielles que sur une plage limitée.
Pseudo-hasard. Les tirages viennent d'un générateur déterministe à graine. Ses suites passent les tests statistiques usuels, ce qui suffit ici, mais ne sont pas « vraiment » aléatoires.
Marche sur une ligne, pas de longueur fixe. Les vrais marcheurs browniens bougent en trois dimensions, avec des pas de longueurs variables ; la loi en √n reste la même.
Temps discret en D3. Les atomes sont testés tous les 0,05 s, avec la probabilité exacte qui redonne la bonne demi-vie. Une vraie désintégration a lieu en temps continu.

4Les chiffres à retenir

e ≈ 2,718la base naturelle ; e⁻¹ ≈ 37 % : il reste 37 % après un temps τ, et 5 % après 3 τ.

T½ ≈ 0,69 τdemi-vie et temps de doublement valent ln 2 / |k| ; « règle de 70 » : p % par an double en ≈ 70/p ans.

2¹⁰ ≈ 10³10 doublements font environ mille, 20 un million, 30 un milliard. Une bactérie qui double toutes les 20 minutes ferait un milliard en 10 heures, si rien ne l'arrêtait.

5730 ansdemi-vie du carbone 14, qui sert à dater les restes organiques jusqu'à environ 50 000 ans (environ 9 demi-vies).

± 3 pointsmarge d'un sondage de 1000 personnes (2 σ de la fréquence, au pire p = ½) : la loi en 1/√n, au quotidien.

≈ 45 µm en 1 sétalement typique (√(2Dt)) d'une petite molécule qui diffuse dans l'eau (D ≈ 10⁻⁹ m²/s). En 1 h, seulement 3 mm : la diffusion est rapide de près, lente de loin.

5Seulement introduit ici

Ces notions sont effleurées et méritent leur propre étude : la théorie formelle des équations différentielles (existence et unicité, méthodes de résolution, systèmes à plusieurs variables, plans de phase), les méthodes numériques au-delà d'Euler et leur erreur, les séries de Taylor qui définissent e^x et justifient la linéarisation près d'un équilibre, le chaos et les attracteurs, la loi normale et le théorème central limite énoncés rigoureusement, les statistiques inférentielles (intervalles de confiance, tests d'hypothèses) et les méthodes de Monte Carlo.

Retour à la simulation